I

Análisis Matemático

Funciones, Límites y Complejos

Precálculo y números del plano complejo

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Funciones Avanzadas

Cuadrática, exponencial, logarítmica

f(x)=ax²aˣlog

📈 Funciones Avanzadas

Una función es una relación entre variables donde cada valor de entrada (x) tiene exactamente un valor de salida f(x). Las funciones cuadrática, exponencial y logarítmica modelan fenómenos reales importantes.

📌 Función cuadrática: f(x) = ax²+bx+c

  • Gráfica: parábola
  • Vértice: V = (−b/2a, f(−b/2a))
  • Si a>0: abre hacia arriba (mínimo)
  • Si a<0: abre hacia abajo (máximo)
  • Raíces: x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a
  • Discriminante: b²−4ac → 2 reales, 1, o complejas

📌 Exponencial y Logarítmica

  • Exponencial: f(x) = aˣ (a>0, a≠1); crecimiento/decrecimiento exponencial
  • f(x) = eˣ: función exponencial natural (e ≈ 2.718)
  • Logarítmica: f(x) = log_a(x); inversa de la exponencial
  • log_a(a^x) = x | a^(log_a x) = x
  • log(xy) = log(x)+log(y)
  • log(x/y) = log(x)−log(y)
  • log(x^n) = n·log(x)
Vértice: V = (−b/2a, f(−b/2a)) | Inversa de aˣ es log_a(x)

✏️ Ejercicios

  • Ejercicio 1 Halla el vértice de f(x) = 2x²−8x+3.
    a=2, b=−8. x_v = −(−8)/(2×2) = 8/4 = 2. y_v = f(2) = 2(4)−8(2)+3 = 8−16+3 = −5. Vértice: V = (2, −5). Como a=2>0, la parábola abre hacia arriba y el vértice es el mínimo.
  • Ejercicio 2 Resuelve: log₂(x) = 5
    log₂(x) = 5 → 2⁵ = x → x = 32
  • Ejercicio 3 Simplifica: log(100) + log(0.01)
    log(100) = log(10²) = 2. log(0.01) = log(10⁻²) = −2. Suma: 2+(−2) = 0
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Límites y noción de Cálculo

Concepto intuitivo y límites básicos

límInfinitoContinuidad

♾️ Límites y Noción de Cálculo

Un límite describe el comportamiento de una función cuando la variable se acerca a un valor determinado. Es la base fundamental del cálculo diferencial e integral.

📌 Concepto de límite

  • lím(x→a) f(x) = L significa que f(x) se acerca a L cuando x se acerca a a
  • Límite lateral: por la izquierda (x→a⁻) y derecha (x→a⁺)
  • El límite existe si los dos laterales son iguales
  • Límites directos: si f es continua en a, lím = f(a)
  • Formas indeterminadas: 0/0, ∞/∞ → factorizar o L'Hôpital

📝 Propiedades y ejemplos

  • lím(x→2) (x²−4)/(x−2) = lím(x→2) (x+2) = 4 (factorizando)
  • lím(x→∞) 1/x = 0
  • lím(x→0) sen(x)/x = 1 (límite notable)
  • Derivada: f'(x) = lím(h→0) [f(x+h)−f(x)]/h
  • Derivada = pendiente de la tangente en un punto
lím(x→a) f(x) = L | f'(x) = lím(h→0) [f(x+h)−f(x)]/h

✏️ Ejercicios

  • Ejercicio 1 Calcula: lím(x→3) (x²−9)/(x−3)
    Factorizar: x²−9 = (x+3)(x−3). lím(x→3) (x+3)(x−3)/(x−3) = lím(x→3) (x+3) = 3+3 = 6
  • Ejercicio 2 ¿Qué es la derivada intuitivamente?
    Intuitivamente, la derivada f'(x) es la tasa de cambio instantánea de la función en el punto x. Geométricamente, es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. Si f'(x)>0: la función crece; si f'(x)<0: decrece; si f'(x)=0: hay un punto crítico (máximo o mínimo local).
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Números Complejos

Forma binómica, operaciones, módulo y argumento

a+biMóduloi²=−1

🌀 Números Complejos

Los números complejos extienden los números reales para incluir la raíz cuadrada de números negativos. Se usan en física, ingeniería eléctrica y procesamiento de señales.

📌 Definición y operaciones

  • Unidad imaginaria: i = √(−1), por lo tanto i² = −1
  • Forma binómica: z = a + bi (a = parte real, b = parte imaginaria)
  • Suma: (a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i
  • Producto: (a+bi)(c+di) = ac+adi+bci+bdi² = (ac−bd)+(ad+bc)i
  • Conjugado: z̄ = a−bi; z·z̄ = a²+b²
  • División: (a+bi)/(c+di) = (a+bi)(c−di)/(c²+d²)

📝 Módulo y argumento

  • Módulo: |z| = √(a²+b²) (distancia al origen en el plano complejo)
  • Argumento: θ = arctan(b/a) (ángulo con el eje real)
  • Forma polar: z = |z|(cos θ + i·sen θ)
  • Potencias de i: i¹=i, i²=−1, i³=−i, i⁴=1 (ciclo de 4)
z = a + bi | |z| = √(a²+b²) | i² = −1 | i⁴ = 1

✏️ Ejercicios

  • Ejercicio 1 Calcula (2+3i)(1−2i).
    (2+3i)(1−2i) = 2−4i+3i−6i² = 2−4i+3i−6(−1) = 2+6+(−4+3)i = 8−i
  • Ejercicio 2 Halla el módulo de z = 3+4i.
    |z| = √(3²+4²) = √(9+16) = √25 = 5
II

Álgebra Discreta

Combinatoria y Probabilidad

Conteo y probabilidad condicional

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Combinatoria y Probabilidad Avanzada

Permutaciones, combinaciones, P condicional

nPrnCrP(A|B)

🎲 Combinatoria y Probabilidad Avanzada

La combinatoria cuenta el número de formas de organizar o seleccionar elementos. La probabilidad condicional mide la probabilidad de un evento dado que otro ya ocurrió.

📌 Permutaciones y Combinaciones

  • Permutación (importa el orden): P(n,r) = n!/(n−r)!
  • ¿De cuántas formas 3 personas ocupan 5 sillas? P(5,3) = 60
  • Combinación (no importa el orden): C(n,r) = n!/[r!(n−r)!]
  • ¿De cuántas formas elegir 3 de 5? C(5,3) = 10
  • Factorial: n! = n×(n−1)×...×2×1; 0!=1

📝 Probabilidad Condicional

  • P(A|B): probabilidad de A dado que B ocurrió
  • P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
  • Eventos independientes: P(A|B) = P(A)
  • Teorema de Bayes: P(B|A) = P(A|B)·P(B)/P(A)
  • Ejemplo: caja con 3 rojas y 2 azules. P(roja|2ª extracción, 1ª fue roja) = 2/4 = 1/2
P(n,r) = n!/(n−r)! | C(n,r) = n!/[r!(n−r)!] | P(A|B) = P(A∩B)/P(B)

✏️ Ejercicios

  • Ejercicio 1 ¿De cuántas formas se pueden ordenar las letras de "PERU"?
    PERU tiene 4 letras todas diferentes. P(4,4) = 4! = 4×3×2×1 = 24 formas
  • Ejercicio 2 Un comité de 3 personas se elige de 7 candidatos. ¿Cuántas combinaciones hay?
    C(7,3) = 7!/[3!×4!] = (7×6×5)/(3×2×1) = 210/6 = 35 combinaciones
III

Geometría Avanzada

Cónicas y Trigonometría

Circunferencia, parábola, elipse y ecuaciones trig.

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Cónicas

Circunferencia, parábola y elipse

x²+y²=r²ParábolaElipse

⭕ Secciones Cónicas

Las cónicas son curvas formadas por la intersección de un plano con un cono doble. Incluyen la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola.

📐 Circunferencia y Parábola

  • Circunferencia: centro (h,k), radio r: (x−h)²+(y−k)² = r²
  • Centro en origen: x²+y² = r²
  • Parábola vertical: y = a(x−h)²+k; vértice (h,k)
  • Forma estándar: x² = 4py (foco en (0,p))
  • Si p>0: abre arriba; p<0: abre abajo

📐 Elipse e Hipérbola

  • Elipse: x²/a²+y²/b² = 1 (a>b)
  • Semiejé mayor: a; semijee menor: b
  • Focos: c² = a²−b²; distancia a focos: c
  • Suma de distancias a focos = 2a (constante)
  • Hipérbola: x²/a²−y²/b² = 1
Circunferencia: (x−h)²+(y−k)²=r² | Elipse: x²/a²+y²/b²=1 | Focos: c²=a²−b²

✏️ Ejercicios

  • Ejercicio 1 Halla el centro y radio de: x²+y²−4x+6y−12 = 0
    Completar cuadrado: (x²−4x+4)+(y²+6y+9) = 12+4+9 = 25 → (x−2)²+(y+3)² = 25. Centro: (2, −3); Radio: 5
  • Ejercicio 2 Halla los focos de la elipse: x²/25 + y²/9 = 1
    a²=25, b²=9. c² = a²−b² = 25−9 = 16 → c = 4. Focos en el eje x: F₁(−4, 0) y F₂(4, 0)
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Trigonometría Avanzada

Identidades, ecuaciones trigonométricas

IdentidadesEc. trig.Ángulo doble

🔭 Trigonometría Avanzada

Las identidades trigonométricas son igualdades que se cumplen para cualquier ángulo. Las ecuaciones trigonométricas se resuelven usando estas identidades y el círculo unitario.

📌 Identidades fundamentales

  • sen²x + cos²x = 1
  • 1 + tan²x = sec²x
  • 1 + cot²x = csc²x
  • Ángulo doble: sen(2x) = 2sen(x)cos(x)
  • cos(2x) = cos²x−sen²x = 2cos²x−1 = 1−2sen²x
  • Suma: sen(A+B) = senA·cosB + cosA·senB
  • cos(A+B) = cosA·cosB − senA·senB

📝 Ecuaciones trigonométricas

  • Resolver sen(x) = 1/2 en [0°, 360°]
  • sen(x) = 1/2 → x = 30° o x = 150°
  • 2cos²x − 1 = 0 → cos²x = 1/2 → cosx = ±√2/2
  • x = 45°, 135°, 225°, 315°
  • Usar identidades para simplificar antes de resolver
sen(2x) = 2sen(x)cos(x) | cos(2x) = cos²x−sen²x | sen²x+cos²x=1

✏️ Ejercicios

  • Ejercicio 1 Simplifica: sen²x + cos²x + tan²x
    sen²x + cos²x = 1. Entonces: 1 + tan²x = sec²x. Resultado: sec²x
  • Ejercicio 2 Resuelve: 2sen(x) − 1 = 0 en [0°, 360°].
    2sen(x) = 1 → sen(x) = 1/2. sen es positivo en Q1 y Q2. x = arcsen(1/2) = 30° y x = 180°−30° = 150°