I

Nivel Básico

Álgebra Avanzada

Factorización e inecuaciones

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🔩

Factorización

Factor común, diferencia de cuadrados, trinomio perfecto y aspa simple

Factor comúna²-b²Aspa

🔩 Factorización de Polinomios

Factorizar un polinomio es escribirlo como producto de factores más simples. Es la operación inversa de la multiplicación de polinomios y es fundamental para simplificar fracciones algebraicas y resolver ecuaciones.

📋 Métodos de factorización

  • Factor común: ax + ay = a(x+y). Ej: 6x²+9x = 3x(2x+3)
  • Diferencia de cuadrados: a²-b² = (a+b)(a-b). Ej: x²-25 = (x+5)(x-5)
  • Trinomio cuadrado perfecto: a²±2ab+b² = (a±b)². Ej: x²+6x+9 = (x+3)²
  • Aspa simple: x²+bx+c = (x+p)(x+q) donde p+q=b y p·q=c
  • Suma/diferencia de cubos: a³±b³ = (a±b)(a²∓ab+b²)

🔧 Ejemplos resueltos

  • x²-9 = (x+3)(x-3) [dif. cuadrados]
  • x²+5x+6: busco p+q=5, pq=6 → p=2, q=3 → (x+2)(x+3)
  • x²-7x+12: p+q=-7, pq=12 → p=-3, q=-4 → (x-3)(x-4)
  • 4x²-12x+9 = (2x-3)² [trinomio cuadrado perfecto]
a²-b² = (a+b)(a-b) | x²+(p+q)x+pq = (x+p)(x+q)

✏️ Ejercicios

  • Ejercicio 1 Factoriza: a) x²-16 b) x²+7x+12 c) 2x²+8x d) x²-8x+16
    a) (x+4)(x-4) · b) (x+3)(x+4) · c) 2x(x+4) · d) (x-4)²
  • Ejercicio 2 Factoriza por aspa simple: 2x²+5x+3
    Aspa doble: buscar (2x+a)(x+b) donde 2b+a=5, ab=3. a=3, b=1 → (2x+3)(x+1). Verificar: 2x²+2x+3x+3 = 2x²+5x+3 ✓
  • Ejercicio 3 Simplifica la fracción: (x²-4)/(x²+4x+4)
    Numerador: x²-4 = (x+2)(x-2). Denominador: x²+4x+4 = (x+2)². Simplificando: (x-2)/(x+2)
📏

Inecuaciones Lineales

Resolución, representación en recta y sistemas

< > ≤ ≥IntervaloSistema

📏 Inecuaciones Lineales

Una inecuación es una desigualdad algebraica. Su solución es un conjunto de valores (un intervalo) en lugar de un valor único como en las ecuaciones.

📋 Reglas de inecuaciones

  • Se pueden sumar/restar cualquier número en ambos lados
  • Se puede multiplicar/dividir por un positivo → el signo NO cambia
  • Multiplicar/dividir por negativo → el signo CAMBIA
  • Ej: -2x < 8 → x > -4 (divide por -2, cambia < a >)

🔧 Ejemplo resuelto

  • Resolver: 3x - 2 ≤ 7
  • 3x ≤ 9
  • x ≤ 3
  • Solución: (-∞, 3]
  • En recta numérica: punto cerrado en 3, flecha a la izquierda
Si a < b y c < 0 → ac > bc (el signo se invierte)

✏️ Ejercicios

  • Ejercicio 1 Resuelve y representa en la recta: 2x + 3 > 9
    2x > 6 → x > 3. Solución: (3, +∞). En recta: punto abierto en 3, flecha a la derecha.
  • Ejercicio 2 Resuelve: -4x + 1 ≥ -7
    -4x ≥ -8 → dividir por -4 (cambia signo) → x ≤ 2. Solución: (-∞, 2]
II

Nivel Intermedio

Geometría Analítica y Trigonometría

Plano cartesiano, ecuaciones y ley de senos/cosenos

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📍

Geometría Analítica

Distancia, punto medio, ecuación de la recta

DistanciaPunto medioRecta

📍 Geometría Analítica en el Plano

La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante coordenadas y ecuaciones algebraicas. El plano cartesiano permite representar puntos, rectas y curvas con ecuaciones.

📐 Fórmulas esenciales

  • Distancia entre P₁(x₁,y₁) y P₂(x₂,y₂):
    d = √[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]
  • Punto medio M:
    M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
  • Pendiente: m = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)
  • Ecuación de la recta: y-y₁ = m(x-x₁)

🔧 Ejemplo

  • P₁(1,2) y P₂(4,6):
  • d = √[(4-1)²+(6-2)²] = √[9+16] = √25 = 5
  • M = ((1+4)/2, (2+6)/2) = (2.5, 4)
  • m = (6-2)/(4-1) = 4/3
  • Recta: y-2 = (4/3)(x-1) → y = (4/3)x + 2/3

✏️ Ejercicios

  • Ejercicio 1 Halla la distancia y el punto medio entre A(0,0) y B(6,8).
    d = √(36+64) = √100 = 10. M = (3, 4)
  • Ejercicio 2 Halla la ecuación de la recta que pasa por (2,1) con pendiente m=3.
    y-1 = 3(x-2) → y = 3x-6+1 → y = 3x-5
📡

Trigonometría Avanzada

Ley de senos, ley de cosenos e identidades

Ley senosLey cosenosIdentidades

📡 Trigonometría Avanzada

Más allá del triángulo rectángulo, la ley de senos y cosenos permite resolver cualquier triángulo, sea o no rectángulo. Son herramientas esenciales en topografía, astronomía e ingeniería.

📏 Ley de Senos

  • a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C)
  • Usar cuando conocemos: un lado y dos ángulos (ALA), o dos lados y el ángulo opuesto (LAL opuesto)
  • Ejemplo: a=8, A=30°, B=45° → b = a·sen(B)/sen(A) = 8·sen(45°)/sen(30°) = 8·0.707/0.5 ≈ 11.3

📐 Ley de Cosenos

  • c² = a² + b² - 2ab·cos(C)
  • Usar cuando conocemos: tres lados (LLL), o dos lados y el ángulo entre ellos (LAL)
  • Ejemplo: a=5, b=7, C=60° → c²=25+49-2(5)(7)cos(60°) = 74-35 = 39 → c≈6.24
  • Nota: si C=90°, se reduce al Teorema de Pitágoras
c² = a² + b² - 2ab·cos(C) | a/sen(A) = b/sen(B)

✏️ Ejercicios

  • Ejercicio 1 En un triángulo, a=10, b=8, C=60°. Halla el lado c.
    c² = 100+64-2(10)(8)cos(60°) = 164-160(0.5) = 164-80 = 84. c = √84 ≈ 9.17
  • Ejercicio 2 En un triángulo A=45°, B=75°, a=6. Halla b.
    Ley de senos: b/sen(75°) = 6/sen(45°). b = 6·sen(75°)/sen(45°) = 6·0.966/0.707 ≈ 8.20
III

Nivel Avanzado

Probabilidades y Estadística Inferencial

Probabilidad clásica e interpretación estadística

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🎲

Probabilidades

Espacio muestral, eventos, regla de la adición y multiplicación

P(A)ComplementoEventos

🎲 Probabilidades

La probabilidad mide la posibilidad de que ocurra un evento. Va de 0 (imposible) a 1 (seguro). La probabilidad clásica asume que todos los resultados tienen igual posibilidad.

📋 Conceptos y fórmulas

  • Experimento aleatorio: resultado no predecible (lanzar dado)
  • Espacio muestral (S): todos los resultados posibles
  • Evento (A): subconjunto del espacio muestral
  • P(A) = casos favorables / total de casos
  • Complemento: P(A') = 1 - P(A)
  • Adición: P(A∪B) = P(A)+P(B)-P(A∩B)
  • Multiplicación (independientes): P(A∩B) = P(A)·P(B)

🎯 Ejemplos

  • Dado: S={1,2,3,4,5,6}, n(S)=6
  • P(par) = 3/6 = 1/2
  • P(mayor que 4) = 2/6 = 1/3
  • P(no sacar 6) = 1-P(6) = 1-1/6 = 5/6
  • Mazo de 52 cartas: P(as) = 4/52 = 1/13
  • P(corazón) = 13/52 = 1/4

✏️ Ejercicios

  • Ejercicio 1 Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener suma 7?
    Total de resultados: 6×6=36. Casos favorables con suma 7: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) = 6 casos. P = 6/36 = 1/6 ≈ 16.7%
  • Ejercicio 2 Una bolsa tiene 4 bolas rojas y 6 azules. Se sacan 2 sin reposición. ¿P(ambas rojas)?
    P(1ª roja) = 4/10. P(2ª roja | 1ª roja) = 3/9. P(ambas rojas) = (4/10)×(3/9) = 12/90 = 2/15 ≈ 13.3%
📊

Estadística Inferencial

Muestras, distribución normal e interpretación de gráficos

MuestraNormalGráficos

📊 Estadística Inferencial

La estadística inferencial extrae conclusiones sobre una población a partir de una muestra. A diferencia de la estadística descriptiva (que solo describe datos), la inferencial generaliza resultados.

📋 Conceptos clave

  • Población: conjunto total de elementos de estudio
  • Muestra: subconjunto representativo de la población
  • Parámetro: valor que describe la población (μ, σ)
  • Estadístico: valor calculado de la muestra (x̄, s)
  • Distribución normal: campana de Gauss — simétrica respecto a la media
  • Regla empírica 68-95-99.7: el 68% de datos está a ±1σ de la media

📈 Tipos de gráficos estadísticos

  • Histograma: frecuencias de datos continuos en barras
  • Diagrama de barras: comparar categorías
  • Diagrama circular (pastel): porcentajes del total
  • Polígono de frecuencias: tendencia de datos
  • Diagrama de caja: mediana, cuartiles y outliers

✏️ Ejercicios

  • Ejercicio 1 Una empresa mide las alturas de 1000 empleados. La media es 170cm y la desviación estándar es 8cm. ¿Qué porcentaje mide entre 162 y 178cm?
    162 = 170-8 = μ-σ y 178 = 170+8 = μ+σ. Aplicando la regla empírica 68-95-99.7: entre μ±σ está el 68% de los datos.