I

Nivel Básico

Geometría Plana

Polígonos, áreas y el círculo

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🔷

Polígonos y Áreas

Triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares

ÁreaPerímetroPitágoras

🔷 Polígonos y Cálculo de Áreas

Un polígono es una figura plana cerrada formada por segmentos de línea. Conocer sus fórmulas de área y perímetro es fundamental en geometría, arquitectura e ingeniería.

📏 Fórmulas de área

  • Cuadrado: A = L²
  • Rectángulo: A = b × h
  • Triángulo: A = (b × h) / 2
  • Paralelogramo: A = b × h
  • Trapecio: A = (B + b) × h / 2
  • Rombo: A = (d₁ × d₂) / 2
  • Polígono regular: A = (P × apotema) / 2

📐 Teorema de Pitágoras

  • En triángulo rectángulo: c² = a² + b²
  • c = hipotenusa (frente al ángulo recto)
  • a, b = catetos
  • Terna pitagórica clásica: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17
  • Ejemplo: a=6, b=8 → c=√(36+64)=√100=10
c² = a² + b²  |  a² = c² − b²

✏️ Ejercicios

  • Ejercicio 1 Calcula el área y perímetro de un rectángulo de 8m de base y 5m de altura.
    Área = 8 × 5 = 40 m² · Perímetro = 2(8+5) = 2×13 = 26 m
  • Ejercicio 2 Un triángulo rectángulo tiene catetos de 9 cm y 12 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?
    c² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225 → c = √225 = 15 cm
  • Ejercicio 3 ¿Cuál es el área de un trapecio con bases de 10 m y 6 m, y altura de 4 m?
    A = (10+6) × 4 / 2 = 16 × 4 / 2 = 64/2 = 32 m²
⭕

Círculo y Circunferencia

Radio, diámetro, área y longitud de arco

πÁreaLongitud

⭕ Círculo y Circunferencia

La circunferencia es el conjunto de puntos equidistantes de un centro. El círculo es la región plana delimitada por la circunferencia. El número π (pi ≈ 3.14159) relaciona el diámetro con la longitud de la circunferencia.

📏 Fórmulas esenciales

  • Longitud (perímetro): L = 2πr = πd
  • Área del círculo: A = πr²
  • Longitud de arco: l = (α/360°) × 2πr
  • Área de sector circular: A = (α/360°) × πr²
  • Donde r = radio, d = diámetro, α = ángulo central

🔢 Ejemplo resuelto

  • Círculo con radio r = 7 cm:
  • L = 2π×7 = 14π ≈ 43.98 cm
  • A = π×7² = 49π ≈ 153.94 cm²
  • Arco de 90°: l = (90/360)×14π = (1/4)×14π ≈ 11 cm
A = πr²  |  L = 2πr  |  π ≈ 3.14159

✏️ Ejercicios

  • Ejercicio 1 Halla el área y longitud de una circunferencia con radio 10 cm. (Usa π = 3.14)
    Área = π×10² = 3.14×100 = 314 cm² · Longitud = 2×3.14×10 = 62.8 cm
  • Ejercicio 2 ¿Cuál es el área de un sector circular con r=6m y ángulo de 120°?
    A = (120/360)×π×36 = (1/3)×36π = 12π ≈ 37.7 m²
II

Nivel Intermedio

Trigonometría Básica

Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

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📡

Razones Trigonométricas

Seno, coseno, tangente y sus aplicaciones

SenCosTan

📡 Razones Trigonométricas

Las razones trigonométricas son relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo y sus ángulos. El mnemónico SOH-CAH-TOA ayuda a recordarlas.

📐 SOH-CAH-TOA

  • SOH: sen(α) = Opuesto / Hipotenusa
  • CAH: cos(α) = Adyacente / Hipotenusa
  • TOA: tan(α) = Opuesto / Adyacente
  • Relación: tan(α) = sen(α) / cos(α)
  • Identidad: sen²(α) + cos²(α) = 1

📊 Valores especiales

  • sen 30° = 1/2 · cos 30° = √3/2 · tan 30° = √3/3
  • sen 45° = √2/2 · cos 45° = √2/2 · tan 45° = 1
  • sen 60° = √3/2 · cos 60° = 1/2 · tan 60° = √3
  • sen 90° = 1 · cos 90° = 0 · tan 90° = indefinido
sen(α) = CO/H · cos(α) = CA/H · tan(α) = CO/CA

✏️ Ejercicios

  • Ejercicio 1 Un triángulo rectángulo tiene hipotenusa de 10 y ángulo de 30°. Halla los dos catetos.
    Cateto opuesto = H×sen(30°) = 10×0.5 = 5 · Cateto adyacente = H×cos(30°) = 10×(√3/2) ≈ 10×0.866 = 8.66
  • Ejercicio 2 Una escalera de 6m apoyada contra una pared forma 60° con el suelo. ¿A qué altura llega en la pared?
    Altura = 6 × sen(60°) = 6 × (√3/2) = 6 × 0.866 ≈ 5.20 m
III

Nivel Avanzado

Álgebra y Estadística

Sistemas de ecuaciones, funciones y estadística

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⚖️

Sistemas de Ecuaciones

Métodos de sustitución, igualación y determinantes

SustituciónReducciónDeterminantes

⚖️ Sistemas de Ecuaciones Lineales

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con las mismas incógnitas. Se resuelve hallando los valores que satisfacen todas las ecuaciones simultáneamente.

🔧 Método de sustitución

  • Sistema: 2x + y = 7 · x − y = 2
  • De la 2ª: x = y + 2
  • Sustituir en 1ª: 2(y+2) + y = 7
  • 2y + 4 + y = 7 → 3y = 3 → y = 1
  • x = 1 + 2 = 3
  • Solución: x = 3, y = 1

🔧 Método de reducción (Gauss)

  • Sistema: 3x + 2y = 12 · x − 2y = 0
  • Sumamos ambas ecuaciones:
  • (3x+x) + (2y−2y) = 12+0
  • 4x = 12 → x = 3
  • 3−2y = 0 → y = 3/2 = 1.5

✏️ Ejercicios

  • Ejercicio 1 Resuelve por sustitución: x + y = 10 · 2x − y = 2
    x = 10−y. 2(10−y)−y=2 → 20−3y=2 → y=6. x=10−6=4. Solución: x=4, y=6
  • Ejercicio 2 — Planteamiento La suma de dos números es 25. El doble del mayor menos el menor es 29. ¿Cuáles son los números?
    x+y=25 · 2x−y=29. Suma: 3x=54 → x=18, y=7. Los números son 18 y 7.
📈

Funciones Lineales

Plano cartesiano, pendiente e intersecciones

y=mx+bPendienteGráfica

📈 Funciones Lineales

Una función lineal tiene la forma y = mx + b, donde m es la pendiente (inclinación) y b es la ordenada al origen (punto donde cruza el eje y).

📊 Elementos clave

  • Pendiente (m): m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁) = Δy/Δx
  • m > 0: función creciente (sube de izquierda a derecha)
  • m < 0: función decreciente (baja)
  • m = 0: función constante (horizontal)
  • Ordenada al origen (b): donde cruza el eje y

🖊️ Graficar y = 2x + 1

  • b = 1: punto (0, 1) en el eje y
  • m = 2: por cada 1 que avanza x, y sube 2
  • Otro punto: x=1 → y=3 → (1, 3)
  • Otro punto: x=2 → y=5 → (2, 5)
  • Trazar la recta por esos puntos
y = mx + b  |  m = Δy/Δx = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)

✏️ Ejercicios

  • Ejercicio 1 Halla la pendiente y ordenada al origen de: y = -3x + 5. ¿Es creciente o decreciente?
    m = -3 (decreciente, m < 0) · b = 5 (cruza el eje y en (0,5))
  • Ejercicio 2 Halla la ecuación de la recta que pasa por (0, 2) y (3, 8).
    m = (8−2)/(3−0) = 6/3 = 2 · b = 2 (ordenada al origen = y cuando x=0) · Ecuación: y = 2x + 2
📊

Estadística Básica

Media, mediana, moda, varianza y gráficos

MediaMedianaModa

📊 Estadística Descriptiva

La estadística estudia la recolección, organización e interpretación de datos. Las medidas de tendencia central (media, mediana, moda) resumen un conjunto de datos en un solo valor representativo.

📈 Medidas de tendencia central

  • Media aritmética (x̄): suma de datos / cantidad de datos
  • Mediana (Me): valor central al ordenar los datos
  • Moda (Mo): valor que más se repite
  • Datos: 3, 7, 7, 9, 4
  • Media = (3+7+7+9+4)/5 = 30/5 = 6
  • Mediana (ordenados: 3,4,7,7,9) = 7
  • Moda = 7 (se repite 2 veces)

📉 Medidas de dispersión

  • Rango: Dato máx − Dato mín
  • Varianza (σ²): promedio de las desviaciones al cuadrado
  • Desviación estándar (σ): √varianza
  • σ pequeña: datos concentrados cerca de la media
  • σ grande: datos muy dispersos

✏️ Ejercicios

  • Ejercicio 1 Calcula la media, mediana y moda de: 5, 8, 6, 9, 8, 7, 8, 4, 6.
    Media = (5+8+6+9+8+7+8+4+6)/9 = 61/9 ≈ 6.78 · Ordenados: 4,5,6,6,7,8,8,8,9 → Mediana = 7 · Moda = 8 (aparece 3 veces)