I

Nivel Básico

Álgebra Básica

Expresiones algebraicas y ecuaciones de primer grado

▼
🔡

Expresiones Algebraicas

Monomios, polinomios, términos y operaciones

MonomioPolinomioSemejantes

🔡 Expresiones Algebraicas

Una expresión algebraica combina números, letras (variables) y operaciones. Las letras representan valores desconocidos o variables. Ejemplos: 3x, 2a+5b, x²-4x+3.

📝 Tipos de expresiones

  • Monomio: un solo término. Ej: 5x², -3ab
  • Binomio: dos términos. Ej: 2x+3
  • Trinomio: tres términos. Ej: x²+5x-6
  • Polinomio: cuatro o más términos
  • Términos semejantes: misma variable y exponente (3x y -7x)

➕ Operaciones con polinomios

  • Suma: agrupar términos semejantes: 3x+5x = 8x
  • Resta: cambiar signo y sumar: (5x+3)-(2x-1) = 3x+4
  • Multiplicación por monomio: distribuir: 2(3x+4) = 6x+8
  • Grado de un polinomio: mayor exponente de la variable

✏️ Ejercicios

  • Ejercicio 1 Simplifica: 4x + 7 - 2x + 3 - x
    Agrupando semejantes: (4x - 2x - x) + (7 + 3) = x + 10
  • Ejercicio 2 Si P = 3x² + 2x - 5 y Q = x² - 4x + 7, halla P + Q y P - Q.
    P + Q = 4x² - 2x + 2 · P - Q = (3x²+2x-5) - (x²-4x+7) = 2x² + 6x - 12
  • Ejercicio 3 Expande: 3x(2x - 5) + 2(x² + 4x - 1)
    6x² - 15x + 2x² + 8x - 2 = 8x² - 7x - 2
⚖️

Ecuaciones de 1er Grado

Resolución de ecuaciones lineales con una variable

LinearDespejarVerificar

⚖️ Ecuaciones de Primer Grado

Una ecuación de primer grado (lineal) tiene la forma ax + b = c, donde x es la incógnita. Resolverla significa encontrar el valor de x que hace verdadera la igualdad.

🔧 Método de resolución

  • 1. Eliminar paréntesis (distribuir)
  • 2. Agrupar términos con x a un lado
  • 3. Agrupar números al otro lado
  • 4. Dividir por el coeficiente de x
  • 5. Verificar la solución

🧮 Ejemplo resuelto

  • 2x + 7 = 13
  • 2x = 13 - 7
  • 2x = 6
  • x = 3
  • Verificar: 2(3)+7 = 6+7 = 13 ✓
ax + b = c → x = (c - b) / a

✏️ Ejercicios

  • Ejercicio 1 Resuelve: 3x - 5 = 16
    3x = 16+5 = 21 → x = 7. Verificación: 3(7)-5 = 21-5 = 16 ✓
  • Ejercicio 2 Resuelve: 2(x+3) = 5x - 9
    2x+6 = 5x-9 → 6+9 = 5x-2x → 15 = 3x → x = 5
  • Ejercicio 3 — Planteamiento El triple de un número aumentado en 8 es igual a 29. ¿Cuál es el número?
    Ecuación: 3x + 8 = 29 → 3x = 21 → x = 7
II

Nivel Intermedio

Potencias y Raíces

Potenciación y radicación con enteros y fracciones

▼
⚡

Potenciación

Propiedades de las potencias y cálculo

AⁿPropiedadesNotación científica

⚡ Potenciación

La potenciación es la multiplicación repetida de un número por sí mismo: aⁿ = a × a × a… (n veces). Se llama a = base, n = exponente.

📋 Propiedades de las potencias

  • Producto: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
  • Cociente: aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a≠0)
  • Potencia de potencia: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
  • Exponente cero: a⁰ = 1 (a≠0)
  • Exponente negativo: a⁻ⁿ = 1/aⁿ
  • Potencia de producto: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ

🔬 Notación científica

  • Forma: a × 10ⁿ (donde 1 ≤ a < 10)
  • 300,000,000 = 3 × 10⁸
  • 0.00045 = 4.5 × 10⁻⁴
  • Velocidad de la luz: 3 × 10⁸ m/s
  • Útil en ciencias: astronomía, química

✏️ Ejercicios

  • Ejercicio 1 Simplifica: 2³ × 2⁵ ÷ 2²
    2³⁺⁵⁻² = 2⁶ = 64
  • Ejercicio 2 Simplifica: (3²)³ × 3⁰
    (3²)³ = 3⁶ = 729 · 3⁰ = 1 · Resultado: 729 × 1 = 729
  • Ejercicio 3 Escribe en notación científica: 4,700,000 y 0.000082
    4,700,000 = 4.7 × 10⁶ · 0.000082 = 8.2 × 10⁻⁵
√

Radicación

Raíz cuadrada, cúbica y propiedades

√³√Simplificación

√ Radicación

La radicación es la operación inversa de la potenciación. La raíz n-ésima de a (ⁿ√a) es el número que elevado a n da a. La más usada es la raíz cuadrada (√).

📋 Propiedades de las raíces

  • √(ab) = √a · √b
  • √(a/b) = √a / √b
  • (√a)² = a (para a ≥ 0)
  • √(a²) = |a|
  • Simplificar: √12 = √(4·3) = 2√3

🧮 Raíces exactas frecuentes

  • √1=1, √4=2, √9=3, √16=4, √25=5
  • √36=6, √49=7, √64=8, √81=9, √100=10
  • ³√8=2, ³√27=3, ³√64=4, ³√125=5
  • Irracionales: √2≈1.414, √3≈1.732, √5≈2.236

✏️ Ejercicios

  • Ejercicio 1 Simplifica: √75 + 2√12 - √27
    √75=5√3 · 2√12=2·2√3=4√3 · √27=3√3 → 5√3+4√3-3√3 = 6√3
  • Ejercicio 2 Calcula: ³√(8 × 27)
    ³√216 = ³√(8×27) = ³√8 × ³√27 = 2 × 3 = 6
III

Nivel Avanzado

Proporcionalidad

Proporcionalidad directa, inversa y porcentajes aplicados

▼
📈

Proporcionalidad Directa

Razones, proporciones y regla de tres directa

y=kxRazónRegla de 3

📈 Proporcionalidad Directa

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar (o dividir) una, la otra se multiplica (o divide) por el mismo factor. La relación es y = kx, donde k es la constante de proporcionalidad.

🔗 Características

  • Si A aumenta → B aumenta
  • Si A disminuye → B disminuye
  • La razón y/x = k (constante)
  • Ejemplos: velocidad-distancia, precio-cantidad, horas-salario

🧮 Regla de tres simple directa

  • Si 5 kg cuestan S/ 20, ¿cuánto cuestan 8 kg?
  • 5 kg → 20
  • 8 kg → x
  • x = (8 × 20) / 5 = S/ 32
a/b = c/d → ad = bc (propiedad fundamental)

✏️ Ejercicios

  • Ejercicio 1 Si 4 obreros tardan 6 días en terminar un trabajo, ¿cuánto tarda 1 obrero? (¿Es proporcionalidad directa o inversa?)
    Es proporcionalidad inversa (más obreros = menos tiempo). 1 obrero tarda 4×6 = 24 días.
  • Ejercicio 2 Un auto recorre 180 km en 3 horas. ¿Cuántos km recorre en 5 horas a la misma velocidad?
    Proporcionalidad directa: 3h→180km · 5h→x km. x = (5×180)/3 = 300 km
📉

Proporcionalidad Inversa

Relación inversamente proporcional y regla de tres inversa

xy=kInversaVelocidad

📉 Proporcionalidad Inversa

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al multiplicar una por n, la otra se divide por n. Su producto es constante: x · y = k.

🔗 Características

  • Si A aumenta → B disminuye
  • Si A disminuye → B aumenta
  • El producto x × y = k (constante)
  • Ejemplos: velocidad-tiempo, trabajadores-días, tubos-llenado

🧮 Regla de tres inversa

  • 6 máquinas producen 120 piezas en 4h
  • ¿Cuántas máquinas producen lo mismo en 3h?
  • Razón inversa: 4/3 × 6 = 8 máquinas

✏️ Ejercicios

  • Ejercicio 1 Si 8 personas tardan 15 días en construir una pared, ¿cuánto tardan 12 personas?
    Inversa: 8×15 = 12×x → x = 120/12 = 10 días
💯

Porcentajes Aplicados

Descuentos, aumentos, interés simple y problemas reales

DescuentoAumentoInterés

💯 Porcentajes Aplicados

Un porcentaje es una fracción con denominador 100. Se usa en descuentos, impuestos, estadísticas, intereses bancarios y muchas situaciones cotidianas.

🛒 Descuentos y aumentos

  • Descuento: Precio final = P × (1 - r/100)
  • Aumento: Precio final = P × (1 + r/100)
  • Ej: S/200 con 15% descuento = 200×0.85 = S/170
  • Ej: S/300 con 10% aumento = 300×1.10 = S/330

🏦 Interés Simple

  • I = C × r × t
  • C = capital, r = tasa (decimal), t = tiempo
  • Monto = C + I
  • Ej: S/1000 al 8% anual por 2 años
  • I = 1000 × 0.08 × 2 = S/160
  • Monto = S/1160

✏️ Ejercicios

  • Ejercicio 1 Una zapatilla cuesta S/180 y tiene 25% de descuento. ¿Cuánto pagas?
    Descuento = 180 × 0.25 = 45. Precio final = 180 - 45 = S/ 135
  • Ejercicio 2 Depositas S/5000 al 6% anual de interés simple. ¿Cuánto tienes después de 3 años?
    I = 5000 × 0.06 × 3 = 900. Monto = 5000 + 900 = S/ 5,900