Nivel Básico
Bases y Numeración
Operaciones fundamentales y sistemas numéricos
Números Naturales y Enteros
Operaciones básicas y sus propiedades en ℤ
📖 Números Naturales y Enteros (ℤ)
Los números naturales son los que usamos para contar: 1, 2, 3… Los números enteros incluyen además el cero y los negativos: …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…
🧮 Propiedades de las operaciones
- Conmutativa: a + b = b + a
- Asociativa: (a+b)+c = a+(b+c)
- Distributiva: a(b+c) = ab + ac
- Elemento neutro suma: a + 0 = a
- Elemento neutro producto: a × 1 = a
➕ Suma y resta de enteros
- Mismo signo → sumas y conservas el signo
- Signos distintos → restas y pones el signo del mayor
- (+5) + (-3) = +2
- (-7) + (-2) = -9
- (-4) × (-3) = +12
La temperatura bajó 5°C y luego otros 3°C: 0 + (-5) + (-3) = -8°C
Sistema de Numeración Decimal
Valor posicional y lectura de números grandes
📖 Sistema de Numeración Decimal
Nuestro sistema usa base 10: cada posición vale 10 veces más que la anterior. Entender el valor posicional te permite leer, escribir y operar con números grandes correctamente.
📍 Posiciones (de derecha a izquierda)
- Unidades (U): ×1
- Decenas (D): ×10
- Centenas (C): ×100
- Unidades de mil (UM): ×1,000
- Decenas de mil (DM): ×10,000
- Centenas de mil (CM): ×100,000
- Millones (M): ×1,000,000
✏️ Ejemplo: 3,425,071
- 3 millones
- 4 centenas de mil
- 2 decenas de mil
- 5 miles
- 0 centenas
- 7 decenas
- 1 unidad
Escribe en palabras: 2,307,085 → Dos millones trescientos siete mil ochenta y cinco.
Criterios de Divisibilidad
Reglas para saber si un número es divisible sin dividir
📖 Criterios de Divisibilidad
Son reglas rápidas para saber si un número es divisible por otro sin hacer la división. Son muy útiles para simplificar fracciones y hallar factores.
📋 Reglas principales
- ÷2: Termina en cifra par (0,2,4,6,8)
- ÷3: Suma de dígitos divisible por 3
- ÷4: Últimas 2 cifras divisibles por 4
- ÷5: Termina en 0 o 5
- ÷6: Divisible por 2 y por 3
- ÷9: Suma de dígitos divisible por 9
- ÷10: Termina en 0
🔍 Ejemplo: ¿3,456 es divisible por 3?
- Suma los dígitos: 3+4+5+6 = 18
- 18 ÷ 3 = 6 ✓
- ¡Sí es divisible por 3!
- ¿Es divisible por 9? 18÷9=2 ✓ Sí también.
- ¿Por 2? Termina en 6 (par) ✓ Sí.
- ¿Por 6? Sí por 2 y por 3 ✓ Sí.
Para el criterio del 7 no hay truco fácil — en ese caso conviene dividir directamente.
Nivel Intermedio
Estructura de los Números
Primos, MCD, MCM y fracciones
Números Primos y Compuestos
Factorización y descomposición en factores primos
📖 Números Primos y Compuestos
Un número primo solo tiene dos divisores: 1 y él mismo. Un compuesto tiene más de dos divisores. El 1 no es ni primo ni compuesto.
⭐ Primos menores de 50
- 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
- 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47
- El 2 es el único primo par
🔧 Factorización de 360
- 360 ÷ 2 = 180
- 180 ÷ 2 = 90
- 90 ÷ 2 = 45
- 45 ÷ 3 = 15
- 15 ÷ 3 = 5
- 5 ÷ 5 = 1
- 360 = 2³ × 3² × 5
MCD y MCM
Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo
📖 MCD y MCM
El MCD es el mayor número que divide exactamente a dos o más números. El MCM es el menor múltiplo común. Ambos se calculan con la factorización prima.
📉 MCD de 24 y 36
- 24 = 2³ × 3
- 36 = 2² × 3²
- MCD = factores comunes con menor exponente
- MCD = 2² × 3 = 12
📈 MCM de 24 y 36
- 24 = 2³ × 3
- 36 = 2² × 3²
- MCM = todos los factores con mayor exponente
- MCM = 2³ × 3² = 72
Para sumar 1/24 + 1/36 necesitas el MCM = 72 como denominador común.
Números Racionales (Fracciones)
Equivalencias, simplificación y operaciones
📖 Números Racionales ℚ — Fracciones
Una fracción a/b representa partes de un entero. Los números racionales incluyen todas las fracciones donde b ≠ 0. Se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir.
✂️ Simplificar fracciones
- Divides numerador y denominador por el MCD
- 24/36 → MCD=12 → 2/3
- 15/25 → MCD=5 → 3/5
➕ Suma de fracciones
- Mismo denominador: a/c + b/c = (a+b)/c
- Distinto denominador: hallar el MCM
- 1/4 + 1/6 → MCM=12 → 3/12 + 2/12 = 5/12
Nivel Avanzado
Aplicaciones y Relaciones
Decimales, proporciones, regla de tres y porcentajes
Números Decimales
Conversión con fracciones y operaciones
📖 Números Decimales
Los decimales extienden el sistema posicional a la derecha del punto: décimas, centésimas, milésimas… Son la forma numérica de muchas fracciones.
🔄 Fracción → Decimal
- Divides numerador ÷ denominador
- 3/4 = 0.75
- 1/3 = 0.333… (periódico)
- 7/8 = 0.875
🔄 Decimal → Fracción
- 0.5 = 5/10 = 1/2
- 0.75 = 75/100 = 3/4
- 0.125 = 125/1000 = 1/8
Razones y Proporciones
Magnitudes directa e inversamente proporcionales
📖 Razones y Proporciones
Una razón es la comparación entre dos cantidades (a:b). Una proporción dice que dos razones son iguales: a/b = c/d.
📈 Proporcionalidad directa
- Si A aumenta, B también aumenta
- A/B = constante k
- Ej: velocidad constante → más tiempo = más distancia
📉 Proporcionalidad inversa
- Si A aumenta, B disminuye
- A × B = constante k
- Ej: más trabajadores → menos días para terminar
Regla de Tres Simple
Directa e inversa para resolver problemas prácticos
📖 Regla de Tres Simple
Es el método más usado para resolver problemas de proporcionalidad. Con tres datos conocidos encuentras el cuarto desconocido.
➡️ Directa
- 3 cuadernos cuestan S/12
- ¿Cuánto cuestan 7?
- 3 → 12
- 7 → x
- x = (7 × 12) / 3 = S/28
↩️ Inversa
- 4 obreros terminan en 6 días
- ¿Cuántos días tardan 8 obreros?
- 4 → 6
- 8 → x
- x = (4 × 6) / 8 = 3 días
Porcentajes
Cálculo, descuentos y aumentos en la vida diaria
📖 Porcentajes
El porcentaje expresa una cantidad "por cada 100". Es una de las herramientas matemáticas más usadas en la vida real: precios, descuentos, impuestos, calificaciones.
🧮 Calcular el % de un número
- ¿El 20% de 350?
- 350 × 20/100 = 350 × 0.20 = 70
- ¿El 15% de 200?
- 200 × 0.15 = 30
🏷️ Descuentos y aumentos
- Descuento 30% en S/80:
- 80 × 0.30 = 24 → pagas S/56
- Aumento del 18% (IGV) en S/100:
- 100 × 1.18 = S/118
Para el 10%: mueve el punto decimal un lugar a la izquierda. El 10% de 250 = 25.